Concavidad y Convexidad

import sympy

# Definir la variable simbólica
x = sympy.Symbol('x')

# Definir la función
f = x**3 - 6*x**2 + 5

# Calcular la primera y segunda derivada
f_prime = sympy.diff(f, x)
f_double_prime = sympy.diff(f_prime, x)

print(f"Función: f(x) = {f}")
print(f"Primera derivada f'(x): {f_prime}")
print(f"Segunda derivada f''(x): {f_double_prime}")
print("-" * 30)

# Encontrar los candidatos a puntos de inflexión (donde f''(x) = 0)
inflection_candidates = sympy.solve(f_double_prime, x)
print(f"Candidatos a punto de inflexión en x = {inflection_candidates}")

# Analizar la concavidad
# Para x < 2 (ej. x=0), f''(0) es negativa -> Cóncava hacia abajo
# Para x > 2 (ej. x=3), f''(3) es positiva -> Cóncava hacia arriba
inflection_point_x = inflection_candidates[0]
inflection_point_y = f.subs(x, inflection_point_x)

print(f"La concavidad cambia en x = {inflection_point_x}.")
print(f"El punto de inflexión es ({inflection_point_x}, {inflection_point_y})")

# Usar el Criterio de la Segunda Derivada en los puntos críticos
critical_points = sympy.solve(f_prime, x)
print(f"Puntos críticos (donde f'(x)=0): {critical_points}")

for p in critical_points:
    value = f_double_prime.subs(x, p)
    if value > 0:
        print(f"En el punto crítico x={p}, f''({p}) = {value} > 0. Es un mínimo local.")
    elif value < 0:
        print(f"En el punto crítico x={p}, f''({p}) = {value} < 0. Es un máximo local.")
    else:
        print(f"En el punto crítico x={p}, f''({p}) = 0. El criterio no concluye.")